Pembahasan
1.Himpunan
a.
Pengenalan
Himpunan
diperkenalkan oleh George Cantor (1845 – 1918), seorang ahli matematika Jerman.
Ia menyatakan bahwa himpunan adalah kumpulan atas objek-objek. Objek tersebut
dapat berupa benda abstrak maupun kongkret. Pada dasarnya benda-benda dalam
suatu himpunan tidak harus mempunyai kesamaan sifat/karakter.
Kumpulan
dari sebatang pensil, sebuah kursi dan setangkai bunga membentuk sebuah
himpunan. Ketiga benda tersebut berupa benda kongkret, namun tidak memiliki
kesamaan sifat. Benda-benda dalam suatu himpunan harus terdefinisi dengan
jelas, well defined, artinya dapat dibedakan apakah suatu benda termasuk
ataupun tidak dalam himpunan tersebut. Sebagai contoh, kumpulan semua bilangan
genap membentuk sebuah himpunan, sebab syarat keanggotaannya terdefinisi dengan
jelas.
Kumpulan
orang-orang yang pandai tidak merupakan himpunan sebab sifat “pandai” tidak
dapat didefinisikan dengan tepat. Akibatnya tidak dapat ditentukan secara pasti
apakah seseorang guru matematika termasuk dalam himpunan tersebut atau tidak.
Kumpulan bunga yang harum juga bukan merupakan himpunan sebab penentuan harum
tidaknya suatu bunga bersifat subjektif, maksudnya bunga yang dikategorikan
harum oleh seseorang belum tentu dianggap harum bagi orang lain. Kumpulan lain
bukan merupakan himpunan, misalnya
a.Kumpulan makanan enak,
b.Kumpulan wanita cantik, dan
c.Kumpulan lukisan indah.
Nama suatu
himpunan biasanya menggunakan huruf kapital seperti A, B, C, dan X.
Sedangkan anggota suatu himpunan biasanya dinotasikan dengan huruf kecil
seperti a, b, c, x, dan y. Misalnya H adalah himpunan semua huruf hidup dalam
alfabet Latin maka benda-benda yang termasuk dalam himpunan H adalah a, i, u,
e, dan o. Benda-benda yang masuk dalam suatu himpunan disebut sebagai anggota himpunan
tersebut. Notasi untuk menyatakan anggota suatu himpunan adalah “” sedangkan
notasi untuk bukan anggota adalah “”. Dengan demikian a H, iH, u H, e
H, dan o H sedangkan b H, c H dan d H. Istilah anggota yang digunakan
di atas dapat diganti dengan istilah elemen atau unsur.
Dalam
menyatakan suatu himpunan ada tiga cara, yakni dengan kalimat, dengan cara
mendaftar, dan dengan notasi pembentuk himpunan. Cara mendaftar dilakukan
dengan menuliskan anggota-anggotanya di dalam tanda tabulasi { } dimana antar
anggota dibatasi dengan tanda koma. Sebagai contoh himpunan H = { a, i, u, e, o
} menyatakan himpunan semua huruf hidup dalam alfabet Latin.
Himpunan X yang anggota-anggotanya
memenuhi sifat P dinotasikan sebagai
X = { xx bersifat P }.
Notasi ini
disebut notasi pembentuk himpunan. Contoh dari notasi ini adalah H = { xx
adalah satu dari lima huruf hidup dalam alfabet Latin}. Tanda garis tegak “” dapat diganti
dengan tanda garis miring “ / ”, tanda bagi “ : “ atau tanda titik-koma “ ; “.
Dalam buku matematika SMP tanda yang digunakan adalah tanda tegak “ ”.
b.
Pengertian
Himpunan
adalah kumpulan benda atau objek yang dapat didefinisikan dengan jelas,
sehingga dengan tepat dapat diketahui objek yang termasuk himpunan dan yang
tidak termasuk dalam himpunan tersebut.
Istilah
kelompok, kumpulan, maupun gugus dalam matematika disebut dengan istilah
himpunan. Konsep tentang himpunan pertama kali dikemukakan oleh seorang
matematikawan berkebangsaan Jerman bernama Georg Cantor (1845-1918) Benda yang
termasuk dalam himpunan biasa disebut dengan anggota, elemen, atau unsur.
Contoh Kelompok/kumpulan yang
merupakan suatu himpunan:
Kelompok hewan berkaki empat.
Yang merupakan anggota, misalnya :
Gajah, sapi, kuda, kambing
Yang merupakan bukan anggota,
misalnya : ayam, bebek, itik.
Contoh Kelompok/kumpulan yang bukan
merupakan suatu himpunan:
Kumpulan siswa di kelasmu yang
berbadan tinggi.
Pengertian tinggi tidak jelas harus
berapa cm batasannya.
Mengapa disebut begitu?. karena
batasan contoh di atas tidak jelas. Di dalam Matematika kumpulan tidak dapat
disebut himpunan jika batasannya tidak jelas.
c.
Bentuk
Penulisan
·
Bentuk
pendaftaran
Bentuk Pendaftaran menuliskan semua
elemen himpunan tersebut di dalam kurawal
Contoh: Himpunan A=
[Indonesia,amerika,inggris]
·
Bentuk
pencirian
Bentuk Pencirian menuliskan
sifat/ketentuan mengenai elemen himpunan tersebut
Contoh: Himpunan K= [x|x adalah
mahasiswa gunadarma]
d.
Jenis-jenis
Himpunan
1.
himpunan
berhingga adalah suatu himpunan yang jumlah anggotanya dapat dihitung.
Contohnya D = {bilangan genap kurang dari 10} atau A = {2,4,6,8}. Himpunan D
jumlah angotanya dapat dihitung yaitu sebanyak 4 buah.
2.
Himpunan tak
hingga adalah suatu himpunan yang jumlah anggotanya tidak terbatas atau tak
hingga. Contohnya: A= {bilangan genap}, B= {bilangan ganjil}
3.
Himpunan
kosong adalah suatu himpunan yang tidak memiliki anggota sama sekali. Himpunan
kosong dilambangkan dengan tanda {}. Contohnya B = {bilangan genap antara 2 dan
4}. ditulis B={}={0}.
4.
Himpunan
equal/himpunan sama adalah himpunan yang anggotanya sama
contohnya A= {b,c,d}
B={d,c,b}
A=B
5.
Himpunan
ekuivalen adalah himpunan-himpunan yang jumlah anggotanya sama.
Contohnya A= {b,c,d}
B={d,c,b}
A jumlahnya sama dengan B
6.
Himpunan
semesta adalah himpunan dari semua unsur yang sedang dibicarakan. Himpunan
semesta juga disebut himpunan uiversal dan ditulis dengan huruf S.
contohnya:
A = {1,3,5,7,9}
himpunan semestanya berupa:
S = {bilangan asli}
S = {bilangan cacah}
S = {bilangan ganjil kurang dari 10}
7.
Himpunan
bagian adalah apabila setiap unsur dalam himpunan B termasuk juga anggota A,
maka B merupakan bagian dari himpunan A.
contohnya
B = {a,c,e}
A = {a,b,c,d,e}
jadi B bagian dari A.
8.
Anggota
himpunan n adalah suatu unsur dari suatu himpunan.
Contohnya
A = (a,b,c,d,e}
maka a elemen A
9.
Himpunan
lepas adalah ssuatu himpunan yang tidak mempunyai anggota persekutuan dengan
himpunan lain.
Contohnya
A = {d,e,f}
B = {g,h,i}
maka himpunan A tidak mempunyai anggota persekutuan dengan himpunan B atau A//B
10.
bukan
anggota himpunan adalah unsur ini tidak termasuk dalam himpunan tersebut
contohnya
A = {a,b,c,d}
e bukan anggota himpunan A.
11.
Himpunan
biolangan cacah adalah himpunan bilangan yang anggotanya dimulai dari nol dan
seterusnya
contoh
K = {0,1,2,3,4,5}
12.
Himpunan
bilangan asli adalah himpunan bilangan yang anggotanya dimulai dari bilangan
satu dan seterusnya.
Contohnya
D = {1,2,3,4,}
13.
himpunan
bilangan genap adalah himpunan yang anggotanya dimulai dari angka dua dan
selalu genap atau habis dibagi dua
contohnya
G = {2,4,6,8,10}
14.
himpunan
bilangan ganjil adalah himpunan yang anggota bilanganya tidak habis dibagi dua
15.
himpunan
blangan prima adalah himpunan bilangan yang anggotanya semua bilangan yang
memiliki dua faktor
contohnya
Y = {2,3,5,7}
16.
himpunan
kuadrat bilangan cacah adalah himpunan bilangan cacah yang anggotanya
dipangkatkan dua. Contohnya Y = {0^2,1^2,3^2)
2.Diagram
Venn
a.
Pengertian
Diagram venn adalah suatu gambar yang digunakan untuk
menyatakan suatu himpunan dalam himpunan semesta. Ciri dari diagram venn adalah
adanya bilangan asli dan himpunan semesta. Contohnya:
Buat diagram venn jika
S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 }
A = { 1, 4, 6, 7 }
B = { 2, 4, 5, 8 }
b.
Operasi
antar Himpunan
a.
Gabungan
(Union) notasi
: È
Gabungan
dari dua himpunan A dan B adalah himpunan yang terdiri dari semua elemen yang
menjadi anggota A atau menjadi anggota B.
contoh:
A = {1,2,3}
B = {0,2,4}
Maka AÈB = {0,1,2,3,4}
b.
Irisan
(Intersection) notasi
: Ç
Irisan dari dua himpunan A dan B
adalah himpunan yang terdiri dari semua elemen persekutuan dari himpunan A dan
B.
contoh:
A={1,2,3,4}
B={3,4,5}
maka A Ç
B = {3,4}
c.
Selisih
(Difference) notasi : -
Selisih antara dua
himpunan A dan B adalah himpunan yang terdiri dari semua anggota A yang bukan
anggota B.
contoh:
A = {1,2,3,4,5}
B = {2,4,6,7,10}
Maka A - B = {1,3,5
d.
Komplemen
notasi: A', Ac, A
Komplemen dari himpunan
A adalah himpunan yang terdiri dari semua anggota himpunan S yang bukan anggota
A
contoh:
S =
{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}
A = {1,2,3,4,5}
Maka A' = {6,7,8,9,10}
